SOA考试IFM准备说明

IFM考试是一个三小时的多项选择题考试，旨在建立你对公司金融和金融模型理论要素的知识。IFM考试是三项初试中题目最多的，共10个题目。AnalystPrep的学者和实践精算师团队开发了简明的准备笔记，集中于金融市场的所有基本方面。

有了AnalystPrep的简明备考笔记，你可以在平板电脑、电脑上阅读，或者在进入平台的题库部分之前打印每个概念。

对数正态分布

假设随机变量X是对数正态分布如果ln X是正态分布。换句话说，当一个随机变量的自然对数是正态分布时，那么这个变量本身就是对数正态分布。

也就是说,

如果X是对数正态分布，则参数为\(\mu\)和\(\sigma\)时，

\ (X \ sim \ log {N \离开(\μ、σ^ 2 \右)}\)。概率分布函数为:

$ $ f (x) = \压裂{1}{σx \ \ sqrt{2 \π}}e ^{- \压裂{1}{2}\离开(\压裂计算lnx - \μ}{{\σ}\右)^ 2}\文本为}{0 < x < \ infty $ $

对数正态分布的均值和方差为:

$$ E(X)= E ^{\mu+\frac {1}{2} \sigma^2} $$

和

$ $ Var (X) = e ^{2 \μ+ \σ^ 2}{(e ^{\σ^ 2}1)}$ $

对数正态分布的两个最重要的特征如下:

• 它的下界为零，也就是说，对数正态变量不能取负值
• 分布是向右倾斜的，也就是说，它有一个长长的右尾。

这些特征与正态分布的特征相反，正态分布是对称的(零偏)，可以同时具有负值和正值。因此，不能用正态分布来建模股票价格，因为股票价格不会低于零。对数正态分布也用于评估选项。

股票价格的对数正态性

Black Scholes和Merton使用了一个模型，假设股票价格在短时间内的百分比变化是正态分布的。现在，定义如下:

\(\mu\)-预期的股票年回报率

(\sigma\)-每年股票价格的波动率

从直观上看，时间的返回值\(\Delta t\)是\(\mu \Delta t\)，标准偏差是\(\sigma \sqrt{\Delta t}\)。这意味着:

$ $ \压裂{\δS}{年代}= \φ(μ\ \δt \σ^ 2 \δt) $ $

其中\(\Delta S\)是股价在\(\Delta t\)时刻的变化，\(\Phi(m,v)\)是均值m和方差v的正态分布。

没有证据，它暗示:

$ $ \开始{对齐*}& ln⁡S_T-ln⁡S_0 \ sim \φ\离开[\离开(\μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] \ \ \ Rightarrow & \压裂{ln⁡S_T} {ln⁡S_0} \ sim \φ\离开[\离开(\μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] \ \ \{对齐*}$ $

也

$ $ ln⁡S_T \ sim \φ\离开(ln⁡S_0 +左\ \μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] $ $

最后一个表达式可以写成:

$ $ ln⁡S_T左\ sim N \ [ln⁡S_0 +左\ \μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T, T \ \σ^ 2是正确的 ]............( 1) $ $

我们将集中在哪些方面，哪些方面:
\(S_T\)=时间T时的股价
\(S_0\)=时间0时的股价
\(\mu)=每年的预期股票收益
\(\sigma\)=股票价格的年度波动率

如果我们让(\delta\)作为股息收益率，那么(1)就变成:

$ $ ln⁡S_T左\ sim N \ [ln⁡S_0 + \离开(\μ-三角洲\ \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] $ $

股利收益率的减去是必要的，因为股利收益率越高，未来股价就越低。

注:上述关系成立的原因是，在数学上，如果一个随机变量x(lnx)的自然对数是正态分布，那么xx就是对数正态分布。同样需要注意的是，BSM模型假设股票价格是对数正态分布的股票收益正态分布．具体地说，连续复合年收益正态分布为:

的意思\(左\[\μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右]\)和方差的\(\压裂{\σ^ 2}{T} \)

例子

农行股票的初始价格为60美元，预期年回报率为10%，年波动率为15%。计算六个月内股票价格分布的平均值和方差。

1. \ \μ(\ \)= - 4.139,σ(\ \)= 0.011
2. \ \μ(\ \)= - 3.139,σ(\ \)= 0.211
3. \ \μ(\ \)= - 4.039,σ(\ \)= 0.013
4. \ \μ(\ \)= - 4.139,σ(\ \)= 0.011
5. \ \μ(\ \)= - 2.139,σ(\ \)= 0.211

正确答案是A。

我们知道:

$ $ \开始{对齐*}& ln⁡S_T-ln⁡S_0 \ sim \φ\离开[\离开(\μ- \压裂{\σ^ 2}{2}\右)T \σ^ 2 T \] \ \ & = N \离开(ln⁡60 + \离开(0.10 - \压裂{0.15 ^ 2}{2}\右)0.5,0.15 ^ 2×0.5 \]\ \ & \ Rightarrow ' lnS_T \ sim N[4.139, 0.011] \ \ \{对齐*}$ $

有时考官可能想通过置信区间来测试你对对数正态分布概念的理解。由于\(ln⁡S_T\)是对数正态分布，95%的值将落在平均值的1.96个标准差范围内。同样，99%的值将落在平均值的2.58个标准差范围内。