SOA考试P学习笔记

考试P是一个三小时的多项选择题考试，旨在测试你对用于评估风险的基本概率工具的知识。AnalystPrep开发了简明的学习笔记，专注于精算师协会考试中测试的学习目标。

考试有三个主要题目，每个题目都有许多不同的学习目标。借助AnalystRep的简明学习笔记，您可以在平板电脑、电脑上阅读或打印每个概念，然后再进入平台的题库部分。

这个离散随机变量的方差为变量所能取的所有值的平方和乘以该值出现的概率减去变量所能取的所有值的和乘以该值出现的概率的平方和，如下式所示:
$$Var\left（X\right）=\sum{{X}{2}p\left（X\right）{\left[\sum{X}p\left（X\right）}\right]}{2}$$

或者以另一种方式书写，作为\（E（X）\）的函数，然后：
$ $ Var \左(X \右)= E \左({X} ^{2} \右)- E{\左(X \右)}^ {2}$ $
通常将\（E（X）\）写为\（\mu\），因此方差也可以如下式所示：
$$Var\left（X\right）=\sum{{\left（X-\mu\right）}^{2}p\left（X\right）}$$

例子
给出滚动单个模具的实验，计算\（Var（X）\）。

\ (E (X) = 1 \ ast ({1} / {6}) + 2 \ ast ({1} / {6}) + 3 \ ast ({1} / {6}) + 4 \ ast ({1} / {6}) + 5 \ ast ({1} / {6}) + 6 \ ast ({1} / {6}) = 3.5 \)

\（E（X^2）=1\ast（{1}/{6}）+2^2\ast（{1}/{6}）+3^2\ast（{1}/{6}）+4^2\ast（{1}/{6}）+5^2\ast（{1}/{6}）+6^2\ast（{1}/{6}）={91}/{6}

\（Var\left（X\right）=\left（91/6\right）–\left（3.5\right）^2={35}/{12}=2.92\）

我们也可以将\（Var（X）\）计算为：

\(E \left(X \right) = \mu =3.5 \)
\开始{align*}
Var\left（X\right）=&（1-3.5）^2\ast（1/6）+（2-3.5）^2\ast（1/6）+（3-3.5）^2\ast（1/6）+（4-3.5）^2\ast（1/6）+\\
& (5 - 3.5) ^ 2 \ ast (1/6) + (6 - 3.5) ^ 2 \ \ \ ast (1/6) = 2.92
结束\{对齐*}

这个连续随机变量的方差如下式所示：
$$Var\left（X\right）=\int{-\infty}{\infty}{{X}{2}f\left（X\right）dx}-{\left[\int{-\infty}{X}f\left（X\right）dx}\right]}{\2}$$
其中\（f（x）\）是\（x）的概率密度函数。

与离散情况一样，它也可以写成：
$ $ Var \左(X \右)= E \左({X} ^{2} \右)- E{\左(X \右)}^ {2}$ $

而且,
$$Var\left（X\right）=\int{-\infty}{\infty}{{\left（X-\mu\right）}{2}f\left（X\right）dx}$$

例子
给定连续随机变量的以下概率密度函数：
$$f\left（x\right）=\begin{cases}\frac{x}{2}，&0<；x<；2\\0，&否则\end{cases}$$
计算\（Var（X）\）。
$$
\开始{align*}
& E \左(X \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {xf \离开(X \右)dx =} \ int _ {0} ^ {2} {X \ ast \压裂{X} {2} \ ast dx} ={\离开[\压裂{{X} ^{3}}{6} \右]}_ {X = 0} ^ {X = 2} = \压裂{8}{6}= \压裂{4}{3}\ \
&E\left（X^2\right）=\int{-\infty}{X^2f\left（X\right）dx=}\int{0}{2}{X^2\ast\frac{X}{2}\ast dx}={\left[\frac{X}}{4}{8}\right]}\\
&Var\left（X\right）=2–{\left（{4}/{3}\right）}^2={2}/{9}\\
结束\{对齐*}
$$
或
$ $ Var \左(X \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}{{\离开(X - \μ\右)}^ {2}f \左(X \右)dx =} \ int _{0} ^{2}{{\离开(X - \压裂{4}{3}\右)}^ {2}\ ast \压裂{X} {2} \ ast dx} ={左\[\压裂{{X} ^{4}}{8} - \压裂{4}{9}{X} ^{3} + \压裂{4}{9}{X} ^{2} \右]}_ {X = 0} ^ {X = 2} = \压裂{2}{9}$ $

这个标准差，通常写为\（\sigma\），离散或连续随机变量的可定义为：
$$S.D.\left（X\right）=\sigma=\sqrt{Var\left（X\right）}$$
这个变异系数随机变量的平均值可定义为标准偏差除以\（X\）的平均值（或期望值），如下式所示：
$$ cv = {{frac {\sigma}{\mu}} $$

\(X\)的方差有时通常被称为二阶矩关于平均数的\（X\）。

第三个瞬间的\(X\)被称为偏态第四个时刻被称为峰度.

一般来说,M可根据以下公式计算\（X\）的力矩：
$$mth\quad moment\left（X\right）=\int{-\infty}{\infty}{{\left（X-\mu\right）}{m}f\left（X\right）dx}$$

例子
给定连续随机变量的以下概率密度函数：
$$f\left（x\right）=\begin{cases}\frac{x}{2}，&0<；x<；2\\0，&否则\end{cases}$$
计算偏态。
\（\begin{align*}
\mu&=\int{-\infty}{xf\left（x\right）dx=}\int{0}{2}{x\ast\frac{x}{2}\ast dx}={\left[\frac{x}{3}{6}\right]}{\\
斜左（X\right）&=\int{-\infty}{\infty}{\left（X-\mu\right）}{3}f\left（X\right）dx=}\int{0}{2}{\left（X-\frac{4}{3}\ast\frac{X}\ast dx}\\
&{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{x}{3}{9}-\frac{16{x}{2}{27}\right]}{x=0}{x=2}=-{8}/{135}
结束\{对齐*}
\)

二项式（和伯努利）

实验的成功概率为\（p\），失败概率为\（1-p\），实验进行\（n\）次。
$$
\开始{align*}
& p \左(x \右)= \左(\{矩阵}开始x n \ \ \{矩阵}结束\右){p} ^ {x}{\离开(1 - p \右)}^ {n} \ \
&E\左（X\右）=np\\
&Var\left（X\right）=np\left（1-p\right）\\
结束\{对齐*}
$$
伯努利随机变量是二项式随机变量的特例，实验只进行一次。

负二项式
给定一个实验进行(X\)次，直到总共发生(r\)次成功，则
$$
\开始{align*}
& p \左(x \右)= \左(\{矩阵}开始x - 1 \ \ r 1 \{矩阵}结束\右){\离开(1 - p \右)}^ {x r} {p} ^ {r} \ \
&E\left（X\right）=\frac{r}{p}\\
&Var\left（X\right）={r\left（1-p\right）}/{p^{2}\\
结束\{对齐*}
$$

几何的
假设一个实验进行了\（X \）次直到成功，每次试验成功的概率等于\（p \），那么
$$\begin{align*}
& p \左(x \右)= \左(1 - p \右)^ \ p (x - 1 \) \ \
&E\left（X\right）={1}/{p}\\
&Var\left（X\right）={\left（1-p\right）}/{p^2}\\
结束\{对齐*}
$$

超几何
$$\begin{align*}
&p\left（x\right）=\frac{\left（\begin{matrix}M\\x\end{matrix}\right）\left（\begin{matrix}N-M\\N-x\end{matrix}\right）}{\left（\begin{matrix}N\\N\end{matrix}\right）}\\
& E\left(X \right)={{frac {nm}{N}} \\
& Var \左(X \右)={纳米\左(N - m \) \左(N N \右)}/ {N ^ 2左(N - 1 \右)}\ \ \
结束\{对齐*}
$$

泊松
泊松随机变量可以描述为固定时间段内发生的事件数量，如果事件以已知的恒定速率发生，\（\lambda\）。
$$\begin{align*}
&p\left（x\right）={\frac{{{e}{-\lambda}{\lambda}{{x}}{x！}\\
& E(X) = \lambda \\
& Var左(X右)= \lambda \\
结束\{对齐*}
$$

均匀-离散
给出了一个结果都具有同等可能性的实验
$$\begin{align*}
&p\left（x\right）={\frac{1}{b-a+1}\\
& E \left(X \right)={{frac {b+a}{2}} \\
&Var\left（X\right）={\frac{\left（b-a+2\right）\left（b-a\right）}{12}\\
结束\{对齐*}
$$

均匀-连续
$$\begin{align*}
& f\left(x \right)={\frac {1}{b-a}}} \\
&E\left（X\right）={\frac{b+a}{2}\\
& Var \左(X \右)={\压裂{{\左(b \右)}^ 2}{12}}\ \
结束\{对齐*}
$$

指数型
$$\begin{align*}
& f \左(x \右)= {e{\λ}}^ {x} -{\λ}\ \
&E\left（X\right）={\frac{1}{\lambda}}\\
&Var\left（X\right）={\frac{1}{{\lambda}^2}\\
结束\{对齐*}
$$

γ
$$\begin{align*}
&f\left（x\right）=\frac{{{\lambda}e}{-{\lambda}x}{\left（{\lambda}x\right）}{\alpha-1}{\Gamma\left（\alpha\right）}\\
&其中\quad{\Gamma\left（\alpha\right）}=\int{0}{\infty}{{e}{y}{y}{y}}{\alpha-1}dy}\\
&E\left（X\right）={\frac{\alpha}{\lambda}}\\
&Var\left（X\right）={\frac{\alpha}{\lambda^2}\\
结束\{对齐*}
$$

典型的
$$\begin{align*}
& f \左(x \右)= \压裂{1}{\σ\ sqrt{2 \π}}{e} ^{-。5{\离开(\压裂{x - \μ}{\σ}\右)}^ {2}}
\ \
&E\left（X\right）=\mu\\
& Var左(X右)= \sigma \
结束\{对齐*}
$$
这个标准常态分布有\（E（X）=0\）和\（Var（X）=1\）。