SOA考试P学习笔记

精算考试的在线和可打印的准备书新万博电话

考试P是一个三小时的多项选择题考试,旨在测试你对用于评估风险的基本概率工具的知识。AnalystPrep开发了简明的学习笔记,专注于精算师协会考试中测试的学习目标。

考试有三个主要题目,每个题目都有许多不同的学习目标。借助AnalystRep的简明学习笔记,您可以在平板电脑、电脑上阅读或打印每个概念,然后再进入平台的题库部分。

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这三个是什么话题?

一般概率占整个考试的最小部分——通常为10%到17%。

一般概率的目标是让您了解基本概率概念,例如:

  • 定义和计算条件概率。
  • 状态贝叶斯定理和总概率定律。
  • 计算互斥事件的概率。
  • 使用组合数学,如组合和置换来计算概率。
  • 等。

这个单变量随机变量主题占整个测试的40%到47%。

学习目标是让您掌握离散和连续单变量随机变量的重要概念,以及如何将其应用于不同的场景。当您完成本主题时,以下内容应唾手可得:

  • 应用程序的转换。
  • 随机变量、概率和概率密度函数以及累积分布函数。
  • 方差、标准差和变异系数-它们每一个的含义以及如何利用给定的信息找到它们。
  • 等。

就像一元随机变量一样,多元随机变量可以完成整个测试的40-47%。这两项考试占了考试P的最大部分。它的目的是发展你对涉及多元随机变量的关键概念的知识,这也包括二元正态分布。在本主题结束时,作为一名学习者,以下是对您的期望:

  • 解释并应用关节力矩生成函数。
  • 查找条件、联合和边际随机变量的矩。。
  • 针对边际和条件概率分布,评估标准差和方差。
  • 等。

这不是冲刺

许多精算专业的学生把SOA考试的经历比作马拉松。我们理解这有多累,想帮助你到达终点线。

坚持我们的学习计划

阅读我们的学习笔记,学习每一个概念。每个概念都伴随着一个实际问题的例子,所以你理解计算,你将被要求在考试当天执行。

无论何时需要,都要得到支持

进入题库,开始解决练习题。每个问题都有详细的解决方案,但如果您需要进一步的帮助,您可以随时通过我们的实时聊天联系我们的支持团队,以帮助您更好地了解考试要求。
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示例学习目标来自AnalystPrep的SOA考试P准备笔记

专题2:单变量随机变量。学习目标d)解释和计算方差、标准差和变异系数。

这个离散随机变量的方差为变量所能取的所有值的平方和乘以该值出现的概率减去变量所能取的所有值的和乘以该值出现的概率的平方和,如下式所示:
$$Var\left(X\right)=\sum{{X}{2}p\left(X\right){\left[\sum{X}p\left(X\right)}\right]}{2}$$

或者以另一种方式书写,作为\(E(X)\)的函数,然后:
$ $ Var \左(X \右)= E \左({X} ^{2} \右)- E{\左(X \右)}^ {2}$ $
通常将\(E(X)\)写为\(\mu\),因此方差也可以如下式所示:
$$Var\left(X\right)=\sum{{\left(X-\mu\right)}^{2}p\left(X\right)}$$

例子
给出滚动单个模具的实验,计算\(Var(X)\)。

\ (E (X) = 1 \ ast ({1} / {6}) + 2 \ ast ({1} / {6}) + 3 \ ast ({1} / {6}) + 4 \ ast ({1} / {6}) + 5 \ ast ({1} / {6}) + 6 \ ast ({1} / {6}) = 3.5 \)

\(E(X^2)=1\ast({1}/{6})+2^2\ast({1}/{6})+3^2\ast({1}/{6})+4^2\ast({1}/{6})+5^2\ast({1}/{6})+6^2\ast({1}/{6})={91}/{6}

\(Var\left(X\right)=\left(91/6\right)–\left(3.5\right)^2={35}/{12}=2.92\)

我们也可以将\(Var(X)\)计算为:

\(E \left(X \right) = \mu =3.5 \)
\开始{align*}
Var\left(X\right)=&(1-3.5)^2\ast(1/6)+(2-3.5)^2\ast(1/6)+(3-3.5)^2\ast(1/6)+(4-3.5)^2\ast(1/6)+\\
& (5 - 3.5) ^ 2 \ ast (1/6) + (6 - 3.5) ^ 2 \ \ \ ast (1/6) = 2.92
结束\{对齐*}

这个连续随机变量的方差如下式所示:
$$Var\left(X\right)=\int{-\infty}{\infty}{{X}{2}f\left(X\right)dx}-{\left[\int{-\infty}{X}f\left(X\right)dx}\right]}{\2}$$
其中\(f(x)\)是\(x)的概率密度函数。

与离散情况一样,它也可以写成:
$ $ Var \左(X \右)= E \左({X} ^{2} \右)- E{\左(X \右)}^ {2}$ $

而且,
$$Var\left(X\right)=\int{-\infty}{\infty}{{\left(X-\mu\right)}{2}f\left(X\right)dx}$$

例子
给定连续随机变量的以下概率密度函数:
$$f\left(x\right)=\begin{cases}\frac{x}{2},&0<;x<;2\\0,&否则\end{cases}$$
计算\(Var(X)\)。
$$
\开始{align*}
& E \左(X \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {xf \离开(X \右)dx =} \ int _ {0} ^ {2} {X \ ast \压裂{X} {2} \ ast dx} ={\离开[\压裂{{X} ^{3}}{6} \右]}_ {X = 0} ^ {X = 2} = \压裂{8}{6}= \压裂{4}{3}\ \
&E\left(X^2\right)=\int{-\infty}{X^2f\left(X\right)dx=}\int{0}{2}{X^2\ast\frac{X}{2}\ast dx}={\left[\frac{X}}{4}{8}\right]}\\
&Var\left(X\right)=2–{\left({4}/{3}\right)}^2={2}/{9}\\
结束\{对齐*}
$$

$ $ Var \左(X \右)= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}{{\离开(X - \μ\右)}^ {2}f \左(X \右)dx =} \ int _{0} ^{2}{{\离开(X - \压裂{4}{3}\右)}^ {2}\ ast \压裂{X} {2} \ ast dx} ={左\[\压裂{{X} ^{4}}{8} - \压裂{4}{9}{X} ^{3} + \压裂{4}{9}{X} ^{2} \右]}_ {X = 0} ^ {X = 2} = \压裂{2}{9}$ $

这个标准差,通常写为\(\sigma\),离散或连续随机变量的可定义为:
$$S.D.\left(X\right)=\sigma=\sqrt{Var\left(X\right)}$$
这个变异系数随机变量的平均值可定义为标准偏差除以\(X\)的平均值(或期望值),如下式所示:
$$ cv = {{frac {\sigma}{\mu}} $$

\(X\)的方差有时通常被称为二阶矩关于平均数的\(X\)。

第三个瞬间的\(X\)被称为偏态第四个时刻被称为峰度.

一般来说,M可根据以下公式计算\(X\)的力矩:
$$mth\quad moment\left(X\right)=\int{-\infty}{\infty}{{\left(X-\mu\right)}{m}f\left(X\right)dx}$$

例子
给定连续随机变量的以下概率密度函数:
$$f\left(x\right)=\begin{cases}\frac{x}{2},&0<;x<;2\\0,&否则\end{cases}$$
计算偏态。
\(\begin{align*}
\mu&=\int{-\infty}{xf\left(x\right)dx=}\int{0}{2}{x\ast\frac{x}{2}\ast dx}={\left[\frac{x}{3}{6}\right]}{\\
斜左(X\right)&=\int{-\infty}{\infty}{\left(X-\mu\right)}{3}f\left(X\right)dx=}\int{0}{2}{\left(X-\frac{4}{3}\ast\frac{X}\ast dx}\\
&{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{x}{3}{9}-\frac{16{x}{2}{27}\right]}{x=0}{x=2}=-{8}/{135}
结束\{对齐*}
\)

二项式(和伯努利)

实验的成功概率为\(p\),失败概率为\(1-p\),实验进行\(n\)次。
$$
\开始{align*}
& p \左(x \右)= \左(\{矩阵}开始x n \ \ \{矩阵}结束\右){p} ^ {x}{\离开(1 - p \右)}^ {n} \ \
&E\左(X\右)=np\\
&Var\left(X\right)=np\left(1-p\right)\\
结束\{对齐*}
$$
伯努利随机变量是二项式随机变量的特例,实验只进行一次。

负二项式
给定一个实验进行(X\)次,直到总共发生(r\)次成功,则
$$
\开始{align*}
& p \左(x \右)= \左(\{矩阵}开始x - 1 \ \ r 1 \{矩阵}结束\右){\离开(1 - p \右)}^ {x r} {p} ^ {r} \ \
&E\left(X\right)=\frac{r}{p}\\
&Var\left(X\right)={r\left(1-p\right)}/{p^{2}\\
结束\{对齐*}
$$

几何的
假设一个实验进行了\(X \)次直到成功,每次试验成功的概率等于\(p \),那么
$$\begin{align*}
& p \左(x \右)= \左(1 - p \右)^ \ p (x - 1 \) \ \
&E\left(X\right)={1}/{p}\\
&Var\left(X\right)={\left(1-p\right)}/{p^2}\\
结束\{对齐*}
$$

超几何
$$\begin{align*}
&p\left(x\right)=\frac{\left(\begin{matrix}M\\x\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}N-M\\N-x\end{matrix}\right)}{\left(\begin{matrix}N\\N\end{matrix}\right)}\\
& E\left(X \right)={{frac {nm}{N}} \\
& Var \左(X \右)={纳米\左(N - m \) \左(N N \右)}/ {N ^ 2左(N - 1 \右)}\ \ \
结束\{对齐*}
$$

泊松
泊松随机变量可以描述为固定时间段内发生的事件数量,如果事件以已知的恒定速率发生,\(\lambda\)。
$$\begin{align*}
&p\left(x\right)={\frac{{{e}{-\lambda}{\lambda}{{x}}{x!}\\
& E(X) = \lambda \\
& Var左(X右)= \lambda \\
结束\{对齐*}
$$

均匀-离散
给出了一个结果都具有同等可能性的实验
$$\begin{align*}
&p\left(x\right)={\frac{1}{b-a+1}\\
& E \left(X \right)={{frac {b+a}{2}} \\
&Var\left(X\right)={\frac{\left(b-a+2\right)\left(b-a\right)}{12}\\
结束\{对齐*}
$$

均匀-连续
$$\begin{align*}
& f\left(x \right)={\frac {1}{b-a}}} \\
&E\left(X\right)={\frac{b+a}{2}\\
& Var \左(X \右)={\压裂{{\左(b \右)}^ 2}{12}}\ \
结束\{对齐*}
$$

指数型
$$\begin{align*}
& f \左(x \右)= {e{\λ}}^ {x} -{\λ}\ \
&E\left(X\right)={\frac{1}{\lambda}}\\
&Var\left(X\right)={\frac{1}{{\lambda}^2}\\
结束\{对齐*}
$$

γ
$$\begin{align*}
&f\left(x\right)=\frac{{{\lambda}e}{-{\lambda}x}{\left({\lambda}x\right)}{\alpha-1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\\
&其中\quad{\Gamma\left(\alpha\right)}=\int{0}{\infty}{{e}{y}{y}{y}}{\alpha-1}dy}\\
&E\left(X\right)={\frac{\alpha}{\lambda}}\\
&Var\left(X\right)={\frac{\alpha}{\lambda^2}\\
结束\{对齐*}
$$

典型的
$$\begin{align*}
& f \左(x \右)= \压裂{1}{\σ\ sqrt{2 \π}}{e} ^{-。5{\离开(\压裂{x - \μ}{\σ}\右)}^ {2}}
\ \
&E\left(X\right)=\mu\\
& Var左(X右)= \sigma \
结束\{对齐*}
$$
这个标准常态分布有\(E(X)=0\)和\(Var(X)=1\)。

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