SOA考试FM学习笔记

精算考试在线和可打印的准备书FM

FM考试是一项三小时、35道选择题的考试,旨在测试你对金融数学基本概念的知识。AnalystRep开发了简明的学习笔记,专注于精算师学会考试中测试的学习目标。

SOA考试FM的教学大纲由8个主题组成,每一个主题都会为考试贡献一定比例的问题。借助AnalystPrep的简明考试备考,您可以在平板电脑、电脑上阅读或打印每个概念,然后再进入平台的题库部分。

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八个是什么主题?

前四个主题非常简单,大多数精算专业的学生应该在他们的本科学位中看到这一点:

  • 货币时间价值(10-15%)
  • 非或有付款的年金/现金流(15-20%)
  • 贷款(10-20%)
  • 债券(10-20%)

接下来的两个主题主要与投资领域有关,对于精算专业的学生来说可能会有点棘手:

  • 一般现金流和投资组合(15-20%)
  • 免疫接种(10-15%)

最后两个主题是基于利率和利率理论,但总体考试的体重少一些:

  • 利率互换(0-10%)
  • 决定利率的因素(0-10%)

在这里,重要的是要注意,在前几个主题中有很好的基础知识将帮助您更轻松地解决后面主题中的问题。

我应该如何学习备考FM?

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AnalystRep的SOA考试P准备笔记中的学习目标示例

专题2:贷款

总结

A.贷款可被视为复利交易,其中借款金额(本金)定期付款在预定期限内以固定利率支付(贷款期限).贷款的支付有时可能涉及停止付款,这是在贷款期限结束时支付的短期款项。

个人或公司通过从银行等金融机构获得贷款来筹集资金。

让(L)将每(n)次(X)分期偿还的贷款金额和每(i)期结束时的利率下赌注。那么价值的方程将是:$$
X{a}{\overline{n}}}=L$$
让我们大开眼界,考虑下面的例子。

示例1

合作社借给农民1000美元,每年年底支付,为期3年。贷款利率为10%。

计算每个年度付款的金额。

  1. 309.45
  2. 408.56
  3. 305.45
  4. 234.78
  5. 402.11

解决方案

正确答案是E

假设年支付额为X美元,则价值方程式为:
$$X{a}{\overline{3}}}}}=1000\Rightarrow X=\frac{1000}{a}}}}{\overline{3}}}}}}}}=\frac{1000}{2.486852}=402.1148$$
因此,农民买单402.1148在第一个,第二和第三年结束时。值得注意的是,这笔款项涵盖了贷款的利息和资本偿还部分。

考虑上面的例子1:

最初的资本金额为1000美元。贷款的第一次支付是在1时的贷款,并且到期利息是\(0.1 \ times 1000 = 100美元)。这是付款的兴趣部分402.1148所以资本还款是\(402.1148-100 = 302.1148 \)。因此,首次付款后的资本刚刚突出(1000-302.1148 = 697.8852 \)。

在第二年,有趣的部分将是(0.1 \乘以697.8852=69.78852\)。偿还本金部分为\(402.1148-69.78852=332.32628\)。因此,第二次支付后的未偿还资金为\(697.8852-332.32628=365.559\)

在贷款期限结束时,利息将是\(0.1 \ times365.55892 = 36.555892 \)。因此,资本偿还是\(402.1148-36.555892 = 365.559 \),因此首都正好在最后一笔付款。

上面的例子应该提供一种了解贷款如何交易的方法。值得注意的是,年金的知识在这里很重要。

计算贷款余额(未偿还资本)

考虑贷款的交易在时间N的贷款期限结束。也就是说,贷款的最后一笔付款正好涵盖了未偿资本和到期利息。现在,让我们

\({L}{k}\)–任何时候未偿还的贷款金额k=0,1,2,…n

\({X}{k}\)-定期分期付款,随时支付\(k=1,2,cdots n\)

\({C}{k}\)-在时间\(k=1,2,n \)偿还的资本

\({I}{k}\)-在\(k=1,2,n \)时支付的利息金额

\(i \)-贷款利率

在任何时间\(k=1,2,\cdots n,\)
$${X}{k}={L}{k}+{I}{k}$$
值的方程为:
$ $ {1} _ {0} = {X} _ {1} v + {X} _ {2} {v} ^ {2} + \ cdot \ cdot \ cdot + {X} _ {n} {v} ^ {n} $ $
这很直观

还要注意:
$${I}{k}=I{L}{k-1}\quad和\quad{C}{k}={L}{k-1}$$
从上一个结果可以很容易地看出:
$${X}{k}=i{L}{k-1}+{L}{k-1}$$
你可以参考例子1,看看这些公式是如何应用的。

计算贷款余额有两种方法:

    1. 前瞻性方法

    1. 回顾性方法

前瞻性方法。

这种方法将贷款余额计算为在贷款期限内将以给定利率支付的未来付款的现值之和。
我们知道:
$${I}{k}={iL}{k-1}$$

$$ {C}_{k}={L}_{k-1} $$
因此
$$\begin{align*}
{X} _ {k} & ={我}_ {k} + {C} _ {k} ={他}_ {k - 1} + {L} _ {k - 1} \四所以\ \ {X} _ {k} & ={他}_ {k - 1} + {L} _ {k - 1} \四\ \ & = \离开(1 + I \右){1}_ {k - 1} \ \ \ Rightarrow {L} _ {k - 1} & v = {X} _ {k}
\结束{align*}$$
从上一个表达式可以很容易地看出,在时间\(k-1\)时未偿还的资本等于在时间\(k\)时未来支付的现值。

从上述结果中,我们可以轻松地看到,在任何时候\(k=1,2,…n\),
$$\begin{align*}
{{L}{{{{{{}{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{{}}{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}该\quad我们\quad假设\quad该\quad年度\quad付款\quad为\quad常量)
\结束{align*}$$
这就完成了计算贷款余额的预期方法的定义。

示例2

合作社借给农民1000美元,每年年底支付,为期3年。贷款利率为10%。

使用预期方法计算第一次付款后的未偿还资金。

  1. 697.88
  2. 600.97
  3. 778.89
  4. 765.43
  5. 765.34

解决方案

正确答案是A。

假设年支付额为X美元,则价值方程式为:
$$X{a}{\overline{3}}}}}=1000\Rightarrow X=\frac{1000}{a}}}}{\overline{3}}}}}}}}=\frac{1000}{2.486852}=402.1148$$
我们知道:
$$ {l} _ {k} = {x} _ {k + {1}} v + {x} _ {k + {2}} {v} ^ {2} + {x} _ {k + {3}} {k + {3}} {v }^{ 3 }+\cdot \cdot \cdot +{ X }_{ n }{ v }^{ { n-k } } $$
我们需要:
$${L}{1}={X}{2}{v+{X}{3}{v}{2}=402.1148{\左(1.1\右)}{-1}+402.1148{\左(1.1\右)}{-2}=697.8852$$
所以,
$${L}{1}=697.8852$$
回顾性方法

这种方法可以被描述为“向后看”。它将未偿还资本计算为在估值时贷款的累计金额减去到估值时已支付的所有定期付款(分期付款)的累计价值。

使用上面定义的相同符号,我们知道:
$${I}{k}={iL}{k-1}$$
以便:
$${I}{1}={iL}{0}$$
我们还知道:
$$\begin{align*}
{x} _ {k}&= {il} _ {k-1} + {c} _ {k} \\ \ lightarrow {c} _ {k} _ {k} _ {k} _ {k} - {k} - {il}_ {k-1} \ quad \ left(recall \四边形\ quad {c} _ {k} = {l} _ {k-1} \右)
\结束{align*}$$
所以k=1时偿还的资本是
$${C}{1}={X}{1}-{iL}{0}$$
因此,首次付款后的贷款余额为:
$$\begin{align*}
{1} _{1} & ={1} _{0} - \离开({X} _{1} -{他}_ {0}\ ) \\ \\& ={ L} _{0} \离开(1 + i \右)——{X} _ {1}
\结束{align*}$$
直观地,随时\(k \ ge 1 \)此时的利息将是:
$${I}{k}={iL}{k-1}$$
偿还的资本为:
$${C}{k}={X}{k}-{iL}{k-1}$$
因此,任何时候的贷款余额k将为:
$${L}{k}={L}{k-1}\左(1+i\右){X}{k}$$
在这一点上,很容易看出,如果我们从时间k到时间0工作,
$${L}{k}={L}{0}{\left(1+i\right)}{k}-\left[{X}{1}{\left(1+i\right)}{{k-1}+{X}{2}{\left(1+i\right)}{{k-1}+\cdot\cdot\cdot+{X}-1}{$$
所以,
$ $ {1} _ {k} ={1} _{0}{\离开(1 + i \右)}^ {k} - x{年代}_{\眉题{k} |} $ $
通过回顾性方法完成计算贷款余额的定义。

示例3

合作社借给农民1000美元,每年年底支付,为期3年。贷款利率为10%。

采用追溯法计算第一次支付后的未清偿资金。

  1. 675.43
  2. 697.89.
  3. 700.56
  4. 765.43
  5. 800.45

解决方案

正确答案是B
$${L}{k}={L}{0}{\left(1+i\right)}{k}-\left[{X}{1}{\left(1+i\right)}{{k-1}+{X}{2}{\left(1+i\right)}{{k-1}+\cdot\cdot\cdot+{X}-1}{$$
这可以写作:
$ $ {1} _ {k} ={1} _{0}{\离开(1 + i \右)}^ {k} - x{年代}_{\眉题{k} |} $ $
我们需要:
$${L}{1}={L}{0}{\left(1+i\ right)}^{1}-X{s}{\overline{1}}}}$$
现在

假设年支付额为$\(X\),则价值方程式为:
$$\begin{align*}
X{a}{3}{12452}&=1000\Rightarrow X=\frac{1000}{a}{3}{12452}=\frac{1000}{2.486852}=402.1148\\ Rightarrow{1}&=1000{left(1.1\right)1}-402.1148\\\ left(1\Rightarrow)887}
\结束{align*}$$
很容易证明这两种方法得到的结果是相同的。追溯法如下所示:
$$\begin{align*}
{{L}{{{{L}{{{{{{{{{L}}{{{{{{L}}{{{{{{{L}}{{{{{{{{{{{{{{{{{}}{{{{{{{{}}{{{{{{{{}}{{{{{{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\left[\frac{1-{v}{n}{i}{\left(1+i\right)}{k}-\frac{{\left(1+i\right)}{{k}-1}{i}\right]\quad(Apply\quad simple\quad Algebra)\\&=X\left[\frac{1-{v}{n-k}}{i}\right]\\\&=X{a}{\uuu{\overline{n-k}}}@i
\结束{align*}$$
最后一个表达式只是用于前瞻性计算贷款余额的公式。所以
$$ {l} _ {0} {\ left(1 + i \ recte)} ^ {k} -x {s} _ {\ overline {k} |} = x {a} _ {\ overline {n-k} |@i $$
随时计算到期利息和贷款余额。

从公式\({I}{k}={iL}{k-1}\)可以很容易地看出,在找到未偿资本后,我们可以找到每期分期付款的资本要素。

考虑下面的例子3:

假设我们希望在第一次付款后找到到期利息。我们计算出未偿资本为697.885

所以,
$$\begin{align*}
{i} _ {k}&= {il} _ {k-1} \\&= 0.1 \ times 697.885 = 69.7885
\结束{align*}$$
一般来说,利息支付是通过计算上一次支付后的贷款余额,然后用实际利率乘以利息,再乘以上一次未偿资本来计算利息。分期付款的资本要素是从分期付款中减去利息得到的。

示例4

投资者从银行获得32000美元的贷款,并在每年年底以10笔等额付款偿还。实际利率为4%。

计算应付给第四方的利息th付款

  1. 947.2
  2. 958.67
  3. 897.2
  4. 654.32
  5. 567.56

解决方案

正确答案是A

让年度付款为$\(X\)。所以
$$X{a}{\overline{10}{124;}=32000\Rightarrow X=\frac{32000}{a}}{\overline{10}}}}}}}=\frac{32000}{8.110896}=3945.3102$$
我们需要在3个月后找到贷款余额RD.付款即:
$$\begin{align*}
{L}{k}&=X{a}{n-k}{1242}\\\右箭头{L}{3}&=X{a}{7}}\\\\\&=3945.3102\乘以6.0021=23679.9675
\结束{align*}$$
所以,4的兴趣元素th元素是:
$$\begin{align*}
{I}{k}&={iL}{k-1}\\\右箭头{L}{3}&=0.04倍23679.9675=947.1987
\结束{align*}$$
分期付款的次数比每年多

一些贷款是半年,季度或每月支付的。现在有新的规则或原则,但在任何分期付款时计算利息时应该热衷于此。

例如,一笔贷款按每月应付的分期付款金额$\(X\)偿还,那么价值方程式将由以下公式得出:
$ $ {1} _ {0} = X{一}_{\眉题{n } | }^{ \ 左(m \右)}$ $
示例5

投资者借9000元贷款,在未来3年按每月等额Y元分期偿还。这项贷款的年实际利率是18.5%。

计算\(y \)。

  1. 456.34
  2. 234.56
  3. 345.67
  4. 285.56
  5. 320.87

解决方案

正确答案是E

价值方程是:
$$\begin{align*}
3月3日(12\右)}{{{{12 Y{{{{{{{{{{{{{{{{3}}{{{{{{{{{{{{3}}{{{{{{{{{{3}}{{{{{3}}{{{{{{{{{{{3}}{{{{{{{{{{{{{3}}}{{{{{{{{{{{{{{3}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{12}}-1\右)}{12\左(1-{1.185}^{-3}\右)} =$320.13
\结束{align*}$$
例子6

使用示例5,计算13之后的未偿资本th付款

  1. 220.87
  2. 227.97
  3. 343.65
  4. 546.89
  5. 456.78

解决方案

正确答案是B

我们知道,采用预期法计算的未偿资本如下所示:
$$ {L}_{k}=X{a}_{\overline {n-k} |} $$
因此,12月12日之后的未偿资本th付款方式为:
$$\begin{align*}
{1} _{1} & = 320.13 \乘以12{一}_{\眉题{3 - 1 } | }^{ \ 左(12 \右)}\四\离开(工作\ \四年四\)\ \ & = 3841.56 \[\压裂{1 - {v} ^{2}}{{我}^{\左(12 \右)}}\右]= 3841.56 \ * 1.6839 = 6468.8029
\结束{align*}$$
利息付款:
$$\begin{align*}
&=6468.8029\times\frac{{i}^{\left(12\right)}{12}\\\&=6468.8029\times 0.01424720=92.1624\\
\结束{align*}$$
所以大写部分是
$$ 320.13-92.1624=227.9676 $$

分期偿还贷款

如果贷款采用摊销法支付,则每次年度付款(分期付款)首先用于支付自上次付款以来产生的利息,另一部分用于减少本金。

为了清楚地看到这一点,让$ (L\)作为贷款的金额。那么第一次付款的利息元素是\(iL\)而是\(L={a}_{\overline {n} |}@i\),其中i是贷款的利息。因此,第一次付款的利息元素简化为:
$$iL=i{a}{\overline{n}{124;}=i\left[\frac{1-{v}}{i}\right]=1-{v}{n}$$
从上面的公式很容易看到\(1- {v} ^ {n})是用于抵消利息的金额,因此贷款校长被\({v} ^ {n}}减少)。那是 :
$$\begin{align*}
{a} _ {\ overline {n} |} - {v} ^ {n}&= \ left [\ frac {1- {v} ^ {n}} {i} \ rectle] - {v} ^ {n} \\&= \ frac {1-{v} ^ {n} \ left(1 + i \ light)} {i} = \ frac {1- {v} ^ {n-1}} {n-1} {i} = {a} _ {\ overline {n-1} |}@一世
\结束{align*}$$
利用上述结果,我们可以订立摊销计划或有时称为贷款计划,如下所示:

时间 分期付款 利息支付 本金支付 未清余额
0 \({a}_{\overline {n} |}\)
1. 1. \(i{a}_{\overline {n} |}=1-{v}^{n}\) \({v}^{n}\) \({a}{\overline{n}}{124;}-{v}{n}={a}{\overline{n-1}{124;}\)
\(\ vdots \) \(\ vdots \) \(\ vdots \) \(\ vdots \) \(\ vdots \)
K 1. \(i{a}{\第{n-k+1}}{124;}=1-{v}^{n}\) \({v}^{n-k+1}}\) \({a} _ {\ ovline {n-k + 1} |} - {v} ^ {n-k + 1} = {a} _ {\ overline {n-k} |} \)
\(\ vdots \) \(\ vdots \) \(\ vdots \) \(\ vdots \) \(\ vdots \)
N 1. \(i{a}{\第{1}}{124;}=1-{v}\) \(五) \({a}_{\overline {1} |}-{v}={0}\)
全部的 N \(n-{a}{\第{n}}}行上方\) \({a}_{\overline {n} |}\) \(\)

例7

一名商人从金融机构获得1000美元的贷款,该贷款将以等额的方式分三年偿还。年实际利率为7%。

构建贷款的摊销计划。

解决方案

我们需要找到年度付款(分期付款)。根据给出的信息,价值方程式为:

$$\begin{align*}
X{a}{\overline{3}}}@7\%&=1000\\\\\\Rightarrow X&=\frac{1000}{a}{\overline{3}}}}}=381.05
\结束{align*}$$
现在研究下表。它很有意义。

时间 分期付款 利息支付 资本支付 未清余额
0 1000
1. 381.05 0.07×1000 = 70 = 381.05-70 = 311.05 =1000-311.05 =688.95
2. 381.05 0.07×688.95 =48.2265 381.05-48.2265 =332.8235 =688.95-332.8235 =356.1265
3. 381.05 0.07×356.1265 = 24.928855 =381.05-24.928855 = 356.1211 =356.1265-356.1211 \(\约\)0
全部的 1143.15 143.1554. 1000

微小的差异是由于四舍五入造成的。否则,Excel等计算机软件将生成精确的值。

沉没的基金

这是一种定期分期付款的方式,金额等于贷款期限结束时支付的原始本金。换言之,借款人定期向偿债基金存入一定数额的资金,然后累积到本金的价值。

考虑一个贷款金额\(L={a}_{\overline {n} |}@i\),其中\(i\)是对贷款收取的利率。

根据偿债基金法,借款人支付的利息金额等于:
$$ i {a} _ {\ overline {n} |} = 1- {v} ^ {n} $$
各偿债基金定期付款的金额等于:
$$\frac{{a}{\overline{n}}}{s}{\overline{n}}}}={v}^{n}$$
因此,借款人每期支付的总金额等于:
$$ \ left(1- {v} ^ {n}右)+ {v} ^ {n} = 1 $$
请注意,这与摊销方法的相同。
考虑下面的偿债基金计划。

时期 分期付款 利息支付 偿债基金存款 偿债基金平衡
1. 1. \(i{a}_{\overline {n} |}=1-{v}^{n}\) \({v}^{n}\) \ ({v} ^ {n}{年代}_{\眉题{1}|}= {v} ^ {n} \)
2. 1. \(i{a}_{\overline {n} |}=1-{v}^{n}\) \({v}^{n}{s}{\第{2}}行上方}
\ \ vdots \ () \ \ vdots \ () \ \ vdots \ () \ \ vdots \ () \ \ vdots \ ()
K 1. \(i{a}_{\overline {n} |}=1-{v}^{n}\) \({v}^{n}\) \({v}^{n}{s}{\第{k}}行上方}
\ \ vdots \ () \ \ vdots \ () \ \ vdots \ () \ \ vdots \ () \ \ vdots \ ()
N 1. \(i {a} _ {\ overline {n} |} = 1- {v} \) \({v}^{n}\) \({a}_{\overline {1} |}-{v}={0}\)
全部的 N \(n-{n}{a}{\第{n}{124}行上) \({n} {a} _ {\ overline {n} |} \) \(\)

注意与摊销计划的差异。在偿债基金计划中,支付的利率保持不变。

我们将使用与摊销计划相同的示例

示例8

一个商人从金融机构贷款1000美元,每年等额分期偿还,为期3年。年有效利率是7%。

构建贷款的偿债基金计划

解决方案

偿债基金利息支付为:
$ 0.07\乘以1000=70 $$
偿债基金存款由以下机构提供:
$$ \ frac {5000} {{s} _ {\ overline {3} |} @ 7 \%} = \ frac {1000} {3.2149} = 311.0527 $$
因此,每年分期付款等于:
$ 311.0527 + 70 = 381.0527 $$

时间 分期付款 利息支付 偿债基金存款 偿债基金平衡
1. 381.05 70 311.0527 311.0527
2. 381.05 70 311.0527 643.879
3. 381.05 70 311.0527 1000.00
全部的 1143.15 210. 933.1550

请注意,表中的值来自表中用于偿债基金计算的公式。

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